23 Ekim 2013 Çarşamba

$\sqrt{2}$ sayısı İrrasyonel midir ? Ispat


rasyonel sayilar p ve q aralarında asal olacak şekilde, $\frac{p}{q}$ olarak yazilabilirler. kabul edelim ki $\sqrt{ 2}$ sayısı rasyonel olsun.

 o zaman p ve q aralarinda asal olmak uzere;

 $\sqrt{2}= \frac{p}{q}$

şeklinde yazılabilirdir.  Bu eşitlikte her iki tarafin karesini alirsak $ 2(q)^2 = {p}^2 $ bulunur.
Bu denklemde sol taraf çift sayı olduğundan sağ taraf da çift sayıdır,  yani ${p}^2$ de çifttir. Dolayısıyla p çifttir.

O halde r bir tamsayı olmak uzere $ p = 2r $ yazılabilir bu durumda ${2q}^2 = {4r}^2 $ olur ve buradan da q nun çift olduğunu buluruz. iki çift sayının ortak böleni 2 olacağından bu durum başlangıçta p ve q nun aralarında asal sayılar olması ile çelişir. Çelişkiye $\sqrt{2}$ sayısını rayonel sayı kabul ederek vardığımızdan, aksi doğru olmak zorundadır yani $ \sqrt{2} $ sayısı rasyonel degildir.  ıspat biter # by mbardak 

Bu ıspatta kullanılan yönteme matematikte olmayana ergi tekniği denir.  Bir şeyin doğruluğu onun yanlışlığını kabul ederek de gösterilebilir. Tıpkı günlük hayatta bazen yanlış yolu seçtiğimizde 2 sokak sonrasında yanıldığımızı ve doğru yola geri dönmemiz gerektiğini anladığımız gibi... peki uzun zaman sonra beni bu ispatı hatırlatmaya iten şey nedir? diye sorarsanız MEB'in güncellenen 9.sınıf matematik müfredatında Reel Sayılar Ünitesinde bu ıspattan söz etmesidir. Her ne kadar eğitim kitabında var olsa da okullarda bir çok öğretmenimin bu ıspatı öğrencilere anlatmayacağı ya da anlatma zahmetinde bulunan meslektaşlarımızın da kavratabilme problemiyle karşılaşacakları ihtimalini de unutmamak gerek! teşekkürler MEB

Hiç yorum yok :